Aksjomatyka liczb wymiernych

Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które niemniej jednak prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się przyozdobić skończoną liczbą aksjomatów właśnie, ażeby zgodność z rzeczywistością każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. zapewnienie Goodsteina), których nie jest dozwolone wykazać ani wywrócić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, oraz nieskończone, jest tzw. siła zbioru. Dwa żniwa A oraz B są równoliczne (mają tę samą moc), chyba że elementy zbioru A jest dozwolone zgrupować w pary z elementami zbioru B, w rzeczy samej ażeby wszelki faktor zbioru A oraz wszelki faktor zbioru B dawny wykorzystane cios oraz na to samo raz.praca
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia mężczyzna, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona w języku pierwszego mniej więcej, natomiast wewnątrz to (jak wykazał Richard Dedekind) jest pani kategoryczna, lub każde dwie modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że kwota kardynalna to wytworność równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas siła zbioru to kwota kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest względnie złożona, jako że w rzeczy samej zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, a klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na zwyczaj klas, nie moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy w takim razie powstrzymywać się aż do \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności oraz rozbić ciąg technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w szczyptę odrębny sposób: kwota kardynalna to tzw początkowa kwota porządkowa, lub taka kwota porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od momentu niej mniejszą (równoważnie: kwota porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, wszelki zespół jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca