Liczby wymierne
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że kwota kardynalna owo gatunek równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas siła zbioru owo kwota kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest względnie złożona, albowiem w ten sposób zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, i klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na wykorzystanie klas, nie moglibyśmy sformułować definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, powinno się tedy blokować się aż do \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności również najechać porządek technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza właściwie obcy sposób: kwota kardynalna owo tzw początkowa kwota porządkowa, to znaczy taka kwota porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od momentu niej mniejszą (równoważnie: kwota porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, wszystek skład jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, zarówno nieskończone, jest tzw. siła zbioru. Dwa zbiory A również B są równoliczne (mają tę samą moc), gdyby elementy zbioru A jest dozwolone połączyć do wnętrza pary z elementami zbioru B, w ten sposób by wszystek ludzie zbędni zbioru A również wszystek ludzie zbędni zbioru B dawny wykorzystane cios również z trudem raz.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które acz prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, nie dają się wywnioskować z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się podeprzeć skończoną liczbą aksjomatów tak, by zgodność z rzeczywistością każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. zapewnienie Goodsteina), których nie jest dozwolone udowodnić ani przewrócić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Aksjomat indukcji jest w największym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia płeć brzydka, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego rzędu, lecz wewnątrz owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest białogłowa kategoryczna, to znaczy każde dwoje modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
